Алгебра. 10 класс

Алгебра и начала математического анализа. 10 и 11 классы. Базовый и углубленный уровни. Учебник.

Авторы: Ш. А. Алимов, Ю. М. Калягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин

М.: Просвещение, 2023

Этот учебник известен давно, по сути он переиздается уже не первое десятилетие. Тем неприятнее, что в нем как был, так и сохранен по сей день описательный подход к математике. Не то чтобы учебник содержал большое количество ошибок, но строгости ему явно не хватает.

Определений мало, многие утверждения даются без доказательств или с отсылкой на более поздние курсы, а то и вообще на курс "Высшей математики". Так нельзя.

В первом классе школы, конечно, еще рано говорить об аксиомах математики, а вот в десятом уже вполне можно и очень стоило бы. Множество натуральных чисел традиционно строится на базе так называемых аксиом Пеано. Да, аксиомы в математике есть не только в геометрии. На примере аксиом Пеано школьники могли бы начать осваивать главный принцип математики - ее абсолютную строгость. Ничего сложного в них нет.

Второй момент касается традиционно неверного подхода к определению операций на множествах. Почти всю дорогу в школьной математике присутствует утверждение, что натуральные числа можно вычитать и делить, ну а что результат иногда выходит за рамки множества, так это ничего.

В алгебре бинарные операции на каком-либо множестве всегда определяются таким образом, что результат тоже принадлежит множеству. Это суть самого понятия бинарной алгебраической операции:

Алгебраической операцией на множестве X называется отображение (x, y) → z, которое ставит в соответствие каждой упорядоченной паре элементов (x, y) этого множества третий элемент z этого же множества. Другими словами: алгебраическая операция на множестве X – это отображение декартова произведения X × X в X.

Таким образом, вычитать и делить натуральные числа попросту нельзя, поскольку определить эти операции на множестве натуральных чисел невозможно.

Вообще, классическая алгебра даже не предполагает наличия таких операций. Вместо вычитания и деления в ней рассматриваются понятия нейтрального (нулевого) и обратного элемента.

Нулевым элементом алгебраической операции на множестве Х называют такой элемент (обычно обозначаемый символом 0), который при выполнении соответствующей операции с любым другим элементом множества не меняет этот элемент: 

а+0 = 0+а = а

Обратным элементом к элементу a называется такой элемент b, который при выполнении операции с элементом a дает нулевой элемент:

a+b = b+a = 0

Нулевой элемент на множестве целых чисел относительно операции сложения - это 0, а вот относительно операции умножения - единица. Обратный элемент к числу 2 относительно сложения - это -2, а вот обратные элементы относительно умножения на множестве целых чисел существуют не у всех. Чего уж говорить про натуральные.

Ну и в итоге операции деления и вычитания определяются как те же умножение и сложение, но с обратными элементами.

a-b = a+(-b)

а/b = ax(1/b)

Такая логика автоматически исключает появление некорректных операций, результаты которых выходят за пределы множества.

Да, все верно, более того - стоило бы это утверждение обобщить и вынести в качестве леммы, поскольку дальше авторы время от времени к нему прибегают. Но вот доказательство получилось какое-то торопливое, поскольку пропущен шаг вычитания одного уравнения из другого, и сразу приводится результат.

Хоть это и не столь принципиально, я бы предпочел доказывать этот факт иначе - через сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, формула которой выводится в учебнике буквально через пару страниц.

Очевидно, что число 0,99999... можно представить в виде 0,9+0,09+0,009+..., то есть, каждое слагаемое в 10 раз меньше предыдущего. Первый член прогрессии равен 0,9, а знаменатель прогрессии 0,1.

Тогда подставляя соответствующие значения в формулу суммы, получаем:

0,(9) = 0,9/(1-0,1) = 0,9/0,9 = 1

Вообще, то, как авторы вводят в учебнике понятие степенной функции действительного переменного, вызывает легкую грусть. Все делается на конкретных примерах с последующим обобщением до всего множества действительных чисел и без малейших попыток доказать, что такое обобщение корректно. Ох нас на матанализе за такое шпыняли будь здоров. Но к этому я вернусь чуть ниже, а здесь хочется обсудить степени ноля.

С отрицательными степенями все понятно - они равносильны делению на ноль, которое в действительных числах запрещено, поскольку ноль не имеет обратного элемента относительно умножения. А вот чему равен ноль в степени ноль? Есть три одинаково разумные версии:

- 00 = 0
- 00 = 1
- 00  не определен

Авторы учебника склоняются к последней, по всей видимости, чтобы не усложнять объяснение. Однако, имеет место проблема. В математическом анализе довольно часто встречаются функции, которые не имеют определенных значений в каких-либо точках. Вот, например, классический случай:

          sin x
f(x) = ------
            x

Эта функция по понятным причинам определена при всех действительных значениях x, кроме x=0, но ее, как говорят математики, можно "доопределить по непрерывности". Это чуток выходит за рамки школьной математики, но ничего особенно выдающегося. Даже в школе изучают так называемый "первый замечательный предел":

lim        sin x
x→0     ------  =  1
                x

Следовательно, если мы рассмотрим функцию, которая на всей числовой прямой будет равна исходной f(x), а при x=0 будет принимать значение 1, то такая функция будет всюду непрерывной. Вот такое расширение области определения функции с сохранением ее непрерывности и называется "доопределением по непрерывности".

Таких примеров масса. Да что там говорить, ведь даже авторы учебника неявно пользуются этим приемом при построении показательной функции. Сначала они определяют ее для рациональных чисел, а для действительных чисел используют предельный переход, то есть, именно - доопределяют по непрерывности.

Возникает вопрос - а что, нельзя функцию f(x) = 0x доопределить в ноле так, чтобы она стала непрерывной. Оказывается, что можно - ничего в этом сложного нет. Ноль в любой положительной степени является нулем, так что если мы примем, что 00 = 0, то функция останется непрерывной.

Проблема в том, что кроме показательной функции f(x) = 0x существует еще и обычная степенная функция g(y) = y0, которая при любых отличных от ноля значениях y равна 1, а в ноле мы имеем все тот же ноль в степени ноль. Если попытаться доопределить по непрерывности эту функцию, то получится, что надо считать ноль в степени ноль равным единице. Так как быть?

Все довольно просто. Само по себе значение ноля в степени ноль не так уж и важно, но оно иногда появляется при использовании различных формул, например, при разложении функций в ряд Тейлора (это уже высшая математика). Так вот, чтобы не портить внешний вид формул и не вносить в них дополнительные условия, математики приняли соглашение считать ноль в степени ноль равным единице - исключительно ради удобства. С этим согласны не все, но те, кто не согласен, вынуждены включать в свои работы дополнительные пояснения и поправки.