Алгебра. 10 класс

Алгебра и начала математического анализа. 10 и 11 классы. Базовый и углубленный уровни. Учебник.

Авторы: Ш. А. Алимов, Ю. М. Калягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин

М.: Просвещение, 2023

Этот учебник известен давно, по сути он переиздается уже не первое десятилетие. Тем неприятнее, что в нем как был, так и сохранен по сей день описательный подход к математике. Не то чтобы учебник содержал большое количество ошибок, но строгости ему явно не хватает.

Определений мало, многие утверждения даются без доказательств или с отсылкой на более поздние курсы, а то и вообще на курс "Высшей математики". Так нельзя.

В первом классе школы, конечно, еще рано говорить об аксиомах математики, а вот в десятом уже вполне можно и очень стоило бы. Множество натуральных чисел традиционно строится на базе так называемых аксиом Пеано. Да, аксиомы в математике есть не только в геометрии. На примере аксиом Пеано школьники могли бы начать осваивать главный принцип математики - ее абсолютную строгость. Ничего сложного в них нет.

Второй момент касается традиционно неверного подхода к определению операций на множествах. Почти всю дорогу в школьной математике присутствует утверждение, что натуральные числа можно вычитать и делить, ну а что результат иногда выходит за рамки множества, так это ничего.

В алгебре бинарные операции на каком-либо множестве всегда определяются таким образом, что результат тоже принадлежит множеству. Это суть самого понятия бинарной алгебраической операции:

Алгебраической операцией на множестве X называется отображение (x, y) → z, которое ставит в соответствие каждой упорядоченной паре элементов (x, y) этого множества третий элемент z этого же множества. Другими словами: алгебраическая операция на множестве X – это отображение декартова произведения X × X в X.

Таким образом, вычитать и делить натуральные числа попросту нельзя, поскольку определить эти операции на множестве натуральных чисел невозможно.

Кстати, деление и вычитание не удовлетворяют двум главнейшим законам школьной математики - ассоциативному и коммутативному. Ой, пардон, переместительному и сочетательному... Какой дурак их так назвал?

a-b = b-a? Нет. Верно только в частном случае, когда a=b
a/b = b/a? Тоже нет. Верно только в частном случае, когда модули чисел равны и ни одно из них не равно нулю. Переместительный закон - в мусорку.

a-(b-c) = (a-b)-c? Даже близко нет. Только если с=0
a/(b/c) = (a/b)/c? Только если c=1, и b не равно 0. Сочетательный закон тоже можно выбросить.

С распределительным (то бишь, дистрибутивным) законом все нормально, но ситуацию это не спасает.

Если уж серьезно, то классическая алгебра даже не предполагает наличия таких операций. Вместо вычитания и деления в ней рассматриваются понятия нейтрального (нулевого) и обратного элемента относительно некоторой операции.

Нулевым элементом алгебраической операции на множестве Х называют такой элемент (обычно обозначаемый символом 0), который при выполнении соответствующей операции с любым другим элементом множества не меняет этот элемент: 

а+0 = 0+а = а

Обратным элементом к элементу a называется такой элемент b, который при выполнении операции с элементом a дает нулевой элемент:

a+b = b+a = 0

Нулевой элемент на множестве целых чисел относительно операции сложения - это 0, обратный элемент к числу 2 относительно сложения - это -2, а вот обратные элементы относительно умножения на множестве целых чисел существуют только у 1 и -1. Чего уж говорить про натуральные числа, где их вообще ни у одного числа нет. Но наличие обратного элемента для всех элементов множества не является обязательным требованием. Нет и ладно, просто множество относительно такой операции не будет удовлетворять определенным требованиям (быть полугруппой, группой, кольцом, полем...). В школе такие слова не изучают.

Но в итоге в алгебре операции деления и вычитания натуральных чисел определяются как те же умножение и сложение, но с обратными элементами, причем, разумеется, только на тех множествах, которые содержат эти элементы. Для определения вычитания натуральных чисел требуется расширить его до множества целых чисел. Для деления натуральных чисел придется использовать положительные рациональные числа.

a-b = a+(-b)

а/b = ax(1/b)

Такая логика автоматически исключает появление некорректных операций, результаты которых выходят за пределы множества. Зато математика становится математикой.

Может показаться, что это слишком сложно для школьников - дескать, таблицу умножения выучили и ладно. Все равно, кроме чисел ничего складывать и делить не надо. Ой...

Даже в школе изучают умножение полиномов... пардон, многочленов. А деление многочлена на многочлен столбиком - это ж насилие над алгеброй. Оно математически верно, но не имеет под собой (в школьной математике) абсолютно никакого фундамента. Чистая методика.

А кто сказал, что можно складывать уравнения в системе или, хотя бы, прибавлять к обоим частям уравнения/неравенства одно и то же слагаемое? Почему операции над числами так легко трансформируются в операции над функциями? Школьная математика позволяет складывать и перемножать функции, как ни в чем не бывало, транслируя свойства операций над числами на множество функций без явного определения самих операций.

Да, все верно, более того - стоило бы это утверждение обобщить и вынести в качестве леммы, поскольку дальше авторы время от времени к нему прибегают. Но вот доказательство получилось какое-то торопливое, поскольку пропущен шаг вычитания одного уравнения из другого, и сразу приводится результат.

Хоть это и не столь принципиально, я бы предпочел доказывать этот факт иначе - через сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, формула которой выводится в учебнике буквально через пару страниц.

Очевидно, что число 0,99999... можно представить в виде 0,9+0,09+0,009+..., то есть, каждое слагаемое в 10 раз меньше предыдущего. Первый член прогрессии равен 0,9, а знаменатель прогрессии 0,1.

Тогда подставляя соответствующие значения в формулу суммы, получаем:

0,(9) = 0,9/(1-0,1) = 0,9/0,9 = 1

Вообще, то, как авторы вводят в учебнике понятие степенной функции действительного переменного, вызывает легкую грусть. Все делается на конкретных примерах с последующим обобщением до всего множества действительных чисел и без малейших попыток доказать, что такое обобщение корректно. Ох, нас на матанализе за такое шпыняли будь здоров. Но к этому я вернусь чуть ниже, а здесь хочется обсудить степени ноля.

С отрицательными степенями все понятно - они равносильны делению на ноль, которое в действительных числах запрещено, поскольку ноль не имеет обратного элемента относительно умножения. А вот чему равен ноль в степени ноль? Есть три одинаково разумные версии:

- 00 = 0
- 00 = 1
- 00  не определен

Авторы учебника склоняются к последней, по всей видимости, чтобы не усложнять объяснение.

Однако, имеет место проблема. В математическом анализе довольно часто встречаются функции, которые не имеют определенных значений в каких-либо точках. Вот, например, классический случай:

          sin x
f(x) = ------
            x

Эта функция по понятным причинам определена при всех действительных значениях x, кроме x=0, но ее, как говорят математики, можно "доопределить по непрерывности". Это чуток выходит за рамки школьной математики, но ничего особенно выдающегося. Даже в школе изучают так называемый "первый замечательный предел":

lim        sin x
x→0     ------  =  1
                x

Следовательно, если мы рассмотрим функцию, которая на всей числовой прямой будет равна исходной f(x), а при x=0 будет принимать значение 1, то такая функция будет всюду непрерывной. Вот такое расширение области определения функции с сохранением ее непрерывности и называется "доопределением по непрерывности".

Таких примеров масса. Да что там говорить, ведь даже авторы учебника неявно пользуются этим приемом при построении показательной функции. Сначала они определяют ее для рациональных чисел, а для действительных чисел используют предельный переход, то есть, именно - доопределяют по непрерывности.

Возникает вопрос - а что, нельзя функцию f(x) = 0x доопределить в нуле так, чтобы она стала непрерывной. Оказывается, что можно - ничего в этом сложного нет. Ноль в любой положительной степени является нулем, так что если мы примем, что 00 = 0, то функция останется непрерывной.

Проблема в том, что кроме показательной функции f(x) = 0x существует еще и обычная степенная функция g(y) = y0, которая при любых отличных от нуля значениях y равна 1, а в нуле мы имеем все тот же ноль в степени ноль. Если попытаться доопределить по непрерывности эту функцию, то получится, что надо считать ноль в степени ноль равным единице. Так как быть?

Все довольно просто. Само по себе значение нуля в степени ноль не так уж и важно, но оно иногда появляется при использовании различных формул, например, при разложении функций в ряд Тейлора (тут да, это уже высшая математика). Так вот, чтобы не портить внешний вид формул и не вносить в них дополнительные условия, математики приняли соглашение считать ноль в степени ноль равным единице - исключительно ради удобства. С этим согласны не все, но те, кто не согласен, вынуждены включать в свои работы дополнительные пояснения и поправки.

Достаточно типичный абзац, содержащий утверждение без доказательств. Как видно даже из этого текста, авторы грешат этим постоянно, дескать, вы еще маленькие такое доказывать. Учебник, замечу, предназначен и для углубленного уровня изучения математики, да и авторы предельные переходы уже неоднократно использовали ранее. А сейчас чего-то вдруг испугались.

На самом деле им стоило сформулировать и доказать очень похожее утверждение, а именно вот это.

Для любого 0<a<1 и любого x>0 число ax меньше либо равно 1, т.е. ax ≤1 при 0<a<1, x>0.

Не правда ли, почти то же самое, но доказывается безо всяких пределов. Точнее, мы просто будем следовать логике, которую уже использовали авторы в своем учебнике.

Итак, берем положительное значение a, меньшее 1, и натуральное значение x. В этом случае результат возведения в степень будет равен всего лишь числу a, которое умножено само на себя x раз. Умножение двух чисел меньше 1 дает результат меньше 1 - это довольно очевидно, хотя можно и доказать. Соответственно, для натурального x утверждение ax <1 будет верно.

Далее берем в качестве x произвольное положительное рациональное число. Тогда x можно представить в виде x=m/n, где m и n - натуральные числа, а степенное выражение можно будет переписать вот в таком виде:

ax= am/n = n√am

Подкоренное выражение am, как было рассмотрено выше, при натуральном значении m меньше единицы. Извлечение корня натуральной степени - операция, обратная к возведению в степень. Очень легко можно показать, что для чисел от 0 до 1 результат взятия корня тоже лежит в этих границах. В самом деле, если c=n√d, то по определению d=cn. d<1, и при этом d является результатом перемножения числа c самого на себя n раз. Если c>1, то и произведение будет больше 1, то есть, мы имеем противоречие. Отсюда следует, что наше исходное утверждение верно для произвольного положительного рационального x.

Ну а для произвольного положительного действительного числа x мы просто используем тот же механизм, что и авторы, и строим последовательность рациональных чисел x1, x2, ..., xn, ..., приближающуюся к x сколь угодно близко. Согласно учебнику, последовательность соответствующих значений показательной функции будет стремиться к ax, но, поскольку значения всех членов данной последовательности меньше 1, то и предел будет меньше либо равен 1. Я здесь сознательно использую нестрогое неравенство ax ≤1, хотя верно и строгое. Просто доказательство строгого неравенства действительно требует привлечения методов высшей математики, а нестрогое можно доказать и так.

Отсюда, кстати, довольно легко следует и утверждение, которое авторы учебника доказывать постеснялись.